实际应用中在MATLAB里面都有开发好的命令可以使用，如  quad(), quadl(),quad2d(),triplequad() 。需要掌握这些命令的用法。

1. 定积分 trapz(),quad(),quadl()

trapz() 函数采用复化梯形公式求积分，其使用格式为

I = trapz(x,y)

参数x为自变量，y为节点处的值，返回值为积分的近似值。

quad() 函数采用自适应步长是Simpson 求积法，其格式为

I = quad(fun,a,b,tol)

参数 fun 为被积函数 $f(x)$；a,b 分别为变量~$x$ 的积分下限和上限； tol 为积分精度要求，默认为1e-6($10^{-6}$)

计算定积分 $\displaystyle{\int_0^1\dfrac{d x}{1+x^2}}.$

>> I = quad(@(x)1./(1+x.^2),0,1)

I =

0.7854

精确解为 $\dfrac{\,\pi\,}{4}$.

计算二重积分

$$\iint\limits_D\sqrt{|y-x^2|}dxdy,D =\{(x,y)|-1\leqslant x \leqslant 1, 0\leqslant y\leqslant 2\}.$$

>> fun = @(x,y)(sqrt(abs(y-x.^2)))

>> I = dblquad(fun,-1,1,0,2)

I =

3.2375

精确解为 $\dfrac{\,5\,}{3}+\dfrac{\,\pi\,}{2}$.

对于非矩形积分区域，也可以用矩形区域积分来处理，但是需要令超出边界的部分函数值为0.

计算二重积分

$\iint\limits_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy,D =\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant 1\}.$

$$\iint\limits_D\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy,D =\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant 1\}.$$

>> fun = @(x,y)(sqrt(1-x.^2-y.^2).*(x.^2+y.^2<=1));% 或 fun = @(x,y)(sqrt(max(1-x.^2-y.^2,0)));

>>  I = dblquad(fun,-1,1,-1,1)

I =

2.0944

精确解为 $\dfrac{\,2\,}{3}\pi$.

3. 三重积分 triplequad

triplequad() 是在立方体区域上求三重积分的函数，其格式为

I = triplequad(fun,a,b,c,d,e,f,tol,method)

参数 fun 为三元被积函数 $f(x,y,z)$；a,b 分别为变量 $x$ 的积分下限和上限； c,d 分别为变量 $y$ 的积分下限和上限；e,f 分别为变量~$z$ 的积分下限和上限；tol 为积分精度要求，默认为1e-6($10^{-6}$)；method 为求积分的方法，有两种，一种是@quad,另一种是@quadl，默认是@quadl。

计算三重积分$$\iiint\limits_\Omega \bigg[y\sin  x + z\cos x\bigg] d v,\Omega=\{(x,y,z)|0\leqslant x \leqslant\pi, 0\leqslant y\leqslant 1,-1\leqslant z\leqslant 1\}.$$

>> fun = @(x,y,z)(y.*sin(x)+z.*cos(x));

>> I = triplequad(fun,0,pi,0,1,-1,1)

I =

2.0000

对于非立方体的积分区域，可以采用令边界外的函数值为 0 的方法。

计算三重积分$$\iiint\limits_\Omega \bigg|\sqrt{x^2+y^2+z^2-1} \bigg|d v,\quad \Omega=\{(x,y,z)|\sqrt{x^2+y^2}\leqslant z\leqslant 1\}.$$

>> fun = @(x,y,z)(abs(sqrt(x.^2+y.^2+z.^2)-1).*((z<=1)&(z>=sqrt(x.^2+y.^2))));

>> I = triplequad(fun,-1,1,-1,1,0,1)

I =

0.2169

精确解是 $\dfrac{\pi(\sqrt{2}-1)}{6}$,计算误差为 $4.5220\times 10^{-6}$.

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